Policy Gradient

Policy Gradient

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虽然前段时间稍微了解过Policy Gradient，但后来发现自己对其原理的理解还有诸多模糊之处，于是希望重新梳理一番。
Policy Gradient的基础是强化学习理论，同时我也发现，由于强化学习的术语众多，杂乱的符号容易让我迷失方向，所以对我自己而言，很有必要重新确立一套统一的符号使用习惯。UCL的David Silver可谓是强化学习领域数一数二的专家（AlphaGo首席研究员），他的课程在网上也大受欢迎，因此我接下来用于讨论问题的符号体系就以他的课件为准。

Markov Decision Process (MDP)

在概率论和统计学中，Markov Decision Processes (MDP) 提供了一个数学架构模型，刻画的是“如何在部分随机，部分可由决策者控制的状态下进行决策”的过程。强化学习的体系正是构建在MDP之上的。

有了这样的定义，自然引申出policy和reward的概念：

Value function

Value function也是MDP中一个非常重要的概念，衡量的是从某个状态开始计算的reward期望值，但容易令初学者混淆的是，value function一般有两种定义方式。
一种叫state-value function：

另一种叫action-value function，会显式地将当前采取的动作纳入考量之中：

从定义上看，两者显然可以互相转换： 

会发现这两种value function其实都可以写成递归的形式：

这又被称为Bellman Equation，把value function分解成了immediate reward加上后续状态的discounted value。

Policy Gradient

强化学习的一类求解算法是直接优化policy，而Policy Gradient就是其中的典型代表。
首先需要讨论一下policy的目标函数。一般而言，policy的目标函数主要有三种形式：

• 在episodic环境（有终止状态，从起始到终止的模拟过程称为一个episode，系统通过一次次地模拟episode进行学习）中，衡量从起始状态开始计算的value：
  
• 在continuing环境（没有终止状态，是一个无限的过程）中，衡量value均值：
  
• 不管在哪个环境中，只关注immediate reward，衡量的是每个时刻的平均reward：
  

以上的

对目标函数求梯度会用到一个很重要的trick，叫likelihood ratios：

对目标函数求梯度最终都是要转化为对policy求梯度，而这个转化的作用是为了凑出

项，便于后续化简出期望项。 一个简单的例子是考虑最基本的情况——单步的MDP，在执行了一个时间单位之后就终止，所得的reward就等于这个时刻的immediate reward，记为

利用likelihood ratios推导出梯度是：

进行无偏采样，记为

，因此可以把期望项去掉，参数更新的公式为：